Wednesday, March 7, 2012

Aplikasi Aljabar Boolean


Aplikasi Aljabar Boolean


1. Jaringan Pensaklaran (Switching Network)

Saklar adalah objek yang mempunyai dua buah keadaan: buka dan tutup. 

Tiga bentuk gerbang paling sederhana:

1.      a                 x                b

          Output b hanya ada jika dan hanya jika x dibuka Þ x


2.      a                 x                y                b

          Output b hanya ada jika dan hanya jika x dan y dibuka Þ xy


3.      a            x
                                         c
          b            y
         

   Output c hanya ada jika dan hanya jika x atau y dibuka Þ x + y
 
Contoh rangkaian pensaklaran pada rangkaian listrik:

1. Saklar dalam hubungan SERI: logika AND

                                                                        Lampu
 

                                A        B                                                  
 

           ¥
Sumber tegangan                                                                               
 



2.   Saklar dalam hubungan PARALEL: logika OR

                                         A
                                                                        Lampu
 

                                      B                                                      
 

         ¥
Sumber Tegangan                                                                              
 



Contoh. Nyatakan rangkaian pensaklaran pada gambar di bawah ini dalam ekspresi Boolean.

 

                                                  x’                                      y

 

                                                           x
                                                                                                              x
 

                                                     x                   y
 



                                           x                                      y’                z
 

                                                                                        z


Jawabxy + (x’ + xy)z + x(y + yz + z)





2. Rangkaian Digital Elektronik


        Gerbang AND                       Gerbang OR                         Gerbang NOT  (inverter)


Contoh. Nyatakan fungsi f(x, y, z) = xy + xy ke dalam rangkaian logika.

Jawab:  (a) Cara pertama



(b) Cara kedua




(b) Cara ketiga

Gerbang turunan



Gerbang NAND                      Gerbang XOR     



Gerbang NOR                                   Gerbang XNOR


















Penyederhanaan Fungsi Boolean

Contoh.     f(x, y) = xy + xy’ + y

disederhanakan menjadi

f(x, y) = x’ + y

Penyederhanaan fungsi Boolean dapat dilakukan dengan 3 cara:
1.    Secara aljabar
2.    Menggunakan Peta Karnaugh
3.    Menggunakan metode Quine Mc Cluskey (metode Tabulasi)


1. Penyederhanaan Secara Aljabar

Contoh:
1.    f(x, y) = x + xy
      = (x + x’)(x + y)
 = 1 × (x + y )
 = x + y

2.    f(x, y, z) = xyz + xyz + xy
 = xz(y’ + y) + xy
 = xz + xz

3.    f(x, y, z) = xy + xz + yz  = xy + xz + yz(x + x’)
   = xy + xz + xyz + xyz
   = xy(1 + z) + xz(1 + y) = xy + xz
2.  Peta Karnaugh

a.  Peta Karnaugh dengan dua peubah
                                                            y
                                                         0          1

m0
m1
x   0
xy
xy

m2
m3
xy
xy


b. Peta dengan tiga peubah








yz
00

01

11

10

m0
m1
m3
m2

x   0                     
xyz
xyz
xyz
xyz

m4
m5
m7
m6

1                    
xyz
xyz
xyz
xyz


Contoh. Diberikan tabel kebenaran, gambarkan Peta Karnaugh.

x
y
z
f(x, y, z)


0
0
0
0


0
0
1
0


0
1
0
1


0
1
1
0


1
0
0
0


1
0
1
0


1
1
0
1


1
1
1
1





yz
00

01

11

10
x  0
0
0
0
1
1
0
0
1
1





b. Peta dengan empat peubah








yz
00

01

11

10

m0
m1
m3
m2
  wx  00
wxyz
wxyz
wxyz
wxyz

m4
m5
m7
m6

01                     
wxyz
wxyz
wxyz
wxyz

m12
m13
m15
m14

11
wxyz
wxyz
wxyz
wxyz

m8
m9
m11
m10

10
wxyz
wxyz
wxyz
wxyz


Contoh. Diberikan tabel kebenaran, gambarkan Peta Karnaugh.

w
x
y
z
f(w, x, y, z)

0
0
0
0
0


0
0
0
1
1


0
0
1
0
0


0
0
1
1
0


0
1
0
0
0


0
1
0
1
0


0
1
1
0
1


0
1
1
1
1


1
0
0
0
0


1
0
0
1
0


1
0
1
0
0


1
0
1
1
0


1
1
0
0
0


1
1
0
1
0


1
1
1
0
1


1
1
1
1
0





yz
00

01

11

10
wx      00
0
1
0
1
01
0
0
1
1
11
0
0
0
1
10
0
0
0
0






Teknik Minimisasi Fungsi Boolean dengan Peta Karnaugh


1. Pasangan: dua buah 1 yang bertetangga


yz
00

01

11

10
wx   00
0
0
0
0
01
0
0
0
0
11
0
0
1
1
10
0
0
0
0


Sebelum disederhanakan: f(w, x, y, z) = wxyz + wxyz
Hasil Penyederhanaan:     f(w, x, y, z) = wxy

Bukti secara aljabar:

                   f(w, x, y, z) = wxyz + wxyz
                                     = wxy(z + z’)
                                     = wxy(1)
                                     = wxy


2. Kuad: empat buah 1 yang bertetangga


yz
00

01

11

10
wx   00
0
0
0
0
01
0
0
0
0
11
1
1
1
1
10
0
0
0
0


Sebelum disederhanakan: f(w, x, y, z) = wxyz’ + wxyz + wxyz + wxyz
Hasil penyederhanaanf(w, x, y, z) = wx

Bukti secara aljabar:

                   f(w, x, y, z) = wxy’ + wxy
                                     = wx(z’ + z)
                                     = wx(1)
                                     = wx


yz
00

01

11

10
wx   00
0
0
0
0
01
0
0
0
0
11
1
1
1
1
10
0
0
0
0


Contoh lain:


yz
00

01

11

10
wx   00
0
0
0
0
01
0
0
0
0
11
1
1
0
0
10
1
1
0
0


Sebelum disederhanakan: f(w, x, y, z) = wxyz’ + wxyz + wxyz’ + wxy’z
Hasil penyederhanaan:    f(w, x, y, z) = wy










3.  Oktet: delapan buah 1 yang bertetangga


yz
00

01

11

10
wx   00
0
0
0
0
01
0
0
0
0
11
1
1
1
1
10
1
1
1
1

         
Sebelum disederhanakan: f(a, b, c, d) = wxyz’ + wxyz + wxyz + wxyz’ +
             wxyz’ + wxyz + wxyz + wxyz

Hasil penyederhanaan: f(w, x, y, z) = w

Bukti secara aljabar:

                    f(w, x, y, z) = wy’ + wy
                                      = w(y’ + y)
                                      = w


yz
00

01

11

10
wx   00
0
0
0
0
01
0
0
0
0
11
1
1
1
1
10
1
1
1
1











Contoh 5.11. Sederhanakan fungsi Boolean f(x, y, z)  = xyz + xyz’ + xyz + xyz’.

Jawab:
          Peta Karnaugh untuk fungsi tersebut adalah:


yz
00

01

11

10
x     0


1

1
1

1
1

Hasil penyederhanaan:  f(x, y, z)  =  yz + xz
          

No comments:

Post a Comment

Post a Comment