Aplikasi Aljabar Boolean

Aplikasi Aljabar Boolean

1. Jaringan Pensaklaran (Switching Network)

Saklar adalah objek yang mempunyai dua buah keadaan: buka dan tutup. 

Tiga bentuk gerbang paling sederhana:

1.      a                 x                b

          Output b hanya ada jika dan hanya jika x dibuka Þ x

2.      a                 x                y                b

          Output b hanya ada jika dan hanya jika x dan y dibuka Þ xy

3.      a            x

                                         c

          b            y

         

   Output c hanya ada jika dan hanya jika x atau y dibuka Þ x + y

 

Contoh rangkaian pensaklaran pada rangkaian listrik:

1. Saklar dalam hubungan SERI: logika AND

                                                                        Lampu

 

                                A        B                                                  

 

           ¥

Sumber tegangan                                                                               

 

2.   Saklar dalam hubungan PARALEL: logika OR

                                         A

                                                                        Lampu

 

                                      B                                                      

 

         ¥

Sumber Tegangan                                                                              

 

Contoh. Nyatakan rangkaian pensaklaran pada gambar di bawah ini dalam ekspresi Boolean.

 

                                                  x’                                      y

 

                                                           x’

                                                                                                              x

 

                                                     x                   y

 

                                           x                                      y’                z

 

                                                                                        z

Jawab:  x’y + (x’ + xy)z + x(y + y’z + z)

2. Rangkaian Digital Elektronik

        Gerbang AND                       Gerbang OR                         Gerbang NOT  (inverter)

Contoh. Nyatakan fungsi f(x, y, z) = xy + x’y ke dalam rangkaian logika.

Jawab:  (a) Cara pertama

(b) Cara kedua

(b) Cara ketiga

Gerbang turunan

Gerbang NAND                      Gerbang XOR     

Gerbang NOR                                   Gerbang XNOR

Penyederhanaan Fungsi Boolean

Contoh.     f(x, y) = x’y + xy’ + y’

disederhanakan menjadi

f(x, y) = x’ + y’

Penyederhanaan fungsi Boolean dapat dilakukan dengan 3 cara:

1.    Secara aljabar

2.    Menggunakan Peta Karnaugh

3.    Menggunakan metode Quine Mc Cluskey (metode Tabulasi)

1. Penyederhanaan Secara Aljabar

Contoh:

1.    f(x, y) = x + x’y

      = (x + x’)(x + y)

 = 1 × (x + y )

 = x + y

2.    f(x, y, z) = x’y’z + x’yz + xy’

 = x’z(y’ + y) + xy’

 = x’z + xz’

3.    f(x, y, z) = xy + x’z + yz  = xy + x’z + yz(x + x’)

   = xy + x’z + xyz + x’yz

   = xy(1 + z) + x’z(1 + y) = xy + x’z

2.  Peta Karnaugh

a.  Peta Karnaugh dengan dua peubah

                                                            y

                                                         0          1

	m0	m1	x   0	x’y’	x’y
	m2	m3	1	xy’	xy

b. Peta dengan tiga peubah

							yz 00	01	11	10
	m0	m1	m3	m2		x   0	x’y’z’	x’y’z	x’yz	x’yz’
	m4	m5	m7	m6		1	xy’z’	xy’z	xyz	xyz’

Contoh. Diberikan tabel kebenaran, gambarkan Peta Karnaugh.

x	y	z	f(x, y, z)
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	1

	yz 00	01	11	10
x  0	0	0	0	1
1	0	0	1	1

b. Peta dengan empat peubah

							yz 00	01	11	10
	m0	m1	m3	m2	wx  00		w’x’y’z’	w’x’y’z	w’x’yz	w’x’yz’
	m4	m5	m7	m6		01	w’xy’z’	w’xy’z	w’xyz	w’xyz’
	m12	m13	m15	m14		11	wxy’z’	wxy’z	wxyz	wxyz’
	m8	m9	m11	m10		10	wx’y’z’	wx’y’z	wx’yz	wx’yz’

Contoh. Diberikan tabel kebenaran, gambarkan Peta Karnaugh.

w	x	y	z	f(w, x, y, z)
0	0	0	0	0
0	0	0	1	1
0	0	1	0	0
0	0	1	1	0
0	1	0	0	0
0	1	0	1	0
0	1	1	0	1
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	0	0	1	0
1	0	1	0	0
1	0	1	1	0
1	1	0	0	0
1	1	0	1	0
1	1	1	0	1
1	1	1	1	0

	yz 00	01	11	10
wx      00	0	1	0	1
01	0	0	1	1
11	0	0	0	1
10	0	0	0	0

Teknik Minimisasi Fungsi Boolean dengan Peta Karnaugh

1. Pasangan: dua buah 1 yang bertetangga

	yz 00	01	11	10
wx   00	0	0	0	0
01	0	0	0	0
11	0	0	1	1
10	0	0	0	0

Sebelum disederhanakan: f(w, x, y, z) = wxyz + wxyz’

Hasil Penyederhanaan:     f(w, x, y, z) = wxy

Bukti secara aljabar:

                   f(w, x, y, z) = wxyz + wxyz’

                                     = wxy(z + z’)

                                     = wxy(1)

                                     = wxy

2. Kuad: empat buah 1 yang bertetangga

	yz 00	01	11	10
wx   00	0	0	0	0
01	0	0	0	0
11	1	1	1	1
10	0	0	0	0

Sebelum disederhanakan: f(w, x, y, z) = wxy’z’ + wxy’z + wxyz + wxyz’

Hasil penyederhanaan:  f(w, x, y, z) = wx

Bukti secara aljabar:

                   f(w, x, y, z) = wxy’ + wxy

                                     = wx(z’ + z)

                                     = wx(1)

                                     = wx

	yz 00	01	11	10
wx   00	0	0	0	0
01	0	0	0	0
11	1	1	1	1
10	0	0	0	0

Contoh lain:

	yz 00	01	11	10
wx   00	0	0	0	0
01	0	0	0	0
11	1	1	0	0
10	1	1	0	0

Sebelum disederhanakan: f(w, x, y, z) = wxy’z’ + wxy’z + wx’y’z’ + wx’y’z

Hasil penyederhanaan:    f(w, x, y, z) = wy’

3.  Oktet: delapan buah 1 yang bertetangga

	yz 00	01	11	10
wx   00	0	0	0	0
01	0	0	0	0
11	1	1	1	1
10	1	1	1	1

         

Sebelum disederhanakan: f(a, b, c, d) = wxy’z’ + wxy’z + wxyz + wxyz’ +

             wx’y’z’ + wx’y’z + wx’yz + wx’yz’

Hasil penyederhanaan: f(w, x, y, z) = w

Bukti secara aljabar:

                    f(w, x, y, z) = wy’ + wy

                                      = w(y’ + y)

                                      = w

	yz 00	01	11	10
wx   00	0	0	0	0
01	0	0	0	0
11	1	1	1	1
10	1	1	1	1

Contoh 5.11. Sederhanakan fungsi Boolean f(x, y, z)  = x’yz + xy’z’ + xyz + xyz’.

Jawab:

          Peta Karnaugh untuk fungsi tersebut adalah:

	yz 00	01	11	10
x     0			1
1	1		1	1

Hasil penyederhanaan:  f(x, y, z)  =  yz + xz’