Wednesday, March 7, 2012

METODE INFERENSI (2)


METODE INFERENSI (2)

KETERBATASAN LOGIKA PROPOSISI

-     Perhatikan contoh berikut :
All men are mortal
Socrates is a man
Therefore, Socrates is mortal

Misal :     p = All men are mortal
              q = Socrates is a man
r = Socrates is mortal
      
       Skema argumennya menjadi :   p, q; \ r
              p
              q
              \ r

Bila dibuat tabel kebenaran, hasilnya invalid.

-     Argumen invalid sering diinterpretasikan sebagai konklusi yang salah (walaupun beberapa orang berpendapat argumen itu dapat saja bernilai benar).

-     Argumen yang invalid berarti argumen tersebut tidak dapat dibuktikan dengan logika proposisi.

-     Keterbatasan logika proposisi dapat diatasi melalui logika predikat sehingga argumen tersebut menjadi valid.

-     Kenyataannya, semua logika silogistik adalah subset yang valid dari logika proposisi urutan pertama.



-     Contoh :
If Socrates is a man, then Socrates is mortal
Socrates is a man
Therefore, Socrates is mortal

Misal:      p = Socrates is a man
              q = Socrates is mortal

Argumennya menjadi :
              p à q
              p
              q

Argumen di atas adalah silogistik yang valid, yaitu bentuk modus ponens.


LOGIKA PREDIKAT URUTAN PERTAMA
(First Order Predicate Logic)

-     Representasi 4 kategori silogisme menggunakan logika predikat

Bentuk
Skema
Representasi Predikat
A
Semua S adalah P
("x) (S(x)àP(x))
E
Tidak S adalah P
("x) (S(x)à~P(x))
I
Beberapa S adalah P
($x) (S(x)àP(x))
O
Beberapa S bukan P
($x) (S(x)à~P(x))

-     Kaidah Universal Instatiation merupakan state dasar, dimana suatu individual dapat digantikan (disubsitusi) ke dalam sifat universal.


-     Contoh :
Misal, f merupakan fungsi proposisi :
                 ("x) f(x)
 \ f(a)

merupakan bentuk yang valid, dimana a menunjukkan spesifik individual, sedangkan x adalah suatu variabel yang berada dalam jangkauan semua individu (universal)

Contoh lain :       ("x) H(x)
      \ H(Socrates)

-      Berikut ini adalah contoh pembuktian formal silogisme:
All men are mortal
Socrates is a man
Therefore, Socrates is mortal

Misal : H = man,  M = mortal,  s = Socrates

1.   ("x) (H (x) à M(x))
2.   H(s)                                /  \ M(s)
3.   H(s) à M(s)                     1 Universal Instatiation
4.   M(s)                                2,3 Modus Ponens



SISTEM LOGIKA

-     Sistem logika adalah kumpulan objek seperti kaidah (rule), aksioma, statement dan lainnya yang diatur dalam cara yang konsisten.

-     Sistem logika mempunyai beberapa tujuan :
1.  Menentukan bentuk argumen.
Awalnya argumen logika tidak memiliki arti dalam semantic sense, bentuk yang valid pada dasarnya dapat dicapai jika validitas dari argumen tersebut dapat ditentukan.
Fungsi terpenting dari logika sistem adalah menentukan well formed formulas (wffs) dari argumen yang digunakan.
Contoh :             All S is P        ….. merupakan wffs
            tapi….    All
                         All is S P       ….. bukan wffs
                         Is S all

2.  Menunjukkan kaidah inferensi yang valid.

3.  Mengembangkan dirinya sendiri dengan menemukan kaidah baru inferensi dan memperluas jangkauan argumen yang dapat dibuktikan.

-     Sistem logika dibangun melalui Sentential atau kalkulus proposisi, kalkulus predikat dst.

-     Setiap sistem disandarkan pada aksioma atau postulat, yang merupakan definisi mendasar dari sistem.
Suatu aksioma merupakan fakta sederhana atau assertion yang tidak dapat dibuktikan dalam sistem. Terkadang, kita menerima aksioma dikarenakan ada sesuatu yang menarik atau melalui pengamatan.

-     Sistem formal membutuhkan :
1.          simbol alfabet.
2.          suatu set finite string dari simbol tertentu, wffs
3.          aksioma, definisi dari sistem
4.          kaidah inferensi, yang memungkinkan wffs, A untuk dikurangi sebagai kesimpulan dari set finite G wff lain dimana G = {A1,A2,…An}. Wffs harus berupa aksioma atau teori lain dari sistem logis. Sebagai contoh : sistem logika dapat didefinisikan menggunakan modus pones untuk diturunkan menjadi teorema baru.

- Jika terdapat argumen :
         A1, A2, ……., AN; \ A

yang valid, maka A disebut teorema dari sistem logika formal dan ditulis dengan simbol    (metasymbol) yang menunjukkan wff adalah suatu teorema .
A1, A2, ……., AN       A

Contoh : teorema silogisme tentang Socrates yang
             ditulis dalam bentuk logika predikat.
("x) (H (x)àM(x)),   H(s)       M(s)

M(s) dapat dibuktikan dari aksioma di sisi kiri, hal tersebut menunjukkan aksioma

-     Suatu teorema merupakan tautology, ditunjukkan melalui G sebagai set null dimana wff selalu bernilai null dan tidak tergantung dari aksioma atau teorema yang lain.
Teorema dengan tautology ditulis dengan simbol    , misalnya   A.
Contoh :
         Jika A º p Ú ~p maka     p Ú ~p

-     Suatu model adalah interpretasi wff bernilai benar.
Suatu wff disebut konsisten atau satifiable jika interpretasi yang dihasilkan benar, dan disebut inkonsisten atau unsatisfiable jika wff menghasilkan nilai yang salah pada semua interpretasi.
RESOLUSI

-     Diperkenalkan oleh Robinson (1965).
-     Resolusi merupakan kaidah inferensi utama dalam bahasa PROLOG.
-     PROLOG menggunakan notasi “quantifier-free”.
-     PROLOG didasarakan pada logika predikat urutan pertama.

-     Sebelum resolusi diaplikasikan, wff harus berada dalam bentuk normal atau standard.
Tiga tipe utama bentuk normal : conjunctive normal form, clausal form dan subset Horn clause.
-     Resolusi diaplikasikan ke dalam bentuk normal wff dengan menghubungkan seluruh elemen dan quantifier yang dieliminasi.
-     Contoh :
(A Ú B) Ù (~B ÚC)   ………… conjunctive normal form
Dimana  A Ú B  dan  ~B ÚC  adalah clause.

Logika proposional dapat ditulis dalam bentuk clause.
Full clause form yang mengekspresikan formula logika predikat dapat ditulis dalam Kowalski clause form.
          A1, A2, ……., Aà  B1, B2, ……., B

      Clause yang ditulis dalam notasi standard :
A1Ù A2, ……., Aà  B1 Ú B2, ……., B

Bentuk disjungsinya merupakan disjungsi dari literal menggunakan equivalence :
       p à q   º   ~p Ú q

      sehingga
A1Ù A2, ……., Aà  B1 Ú B2, ……., B
                           º ~( A1Ù A2, …, AN) Ú (B1 Ú B2, …., BM) 
                           º ~A1Ú ~A2, …, ~AN Ú B1 Ú B2, …., B

Yang merupakan hukum de Morgan :
       ~(p Ù q)   º   ~p Ú ~q

Dengan Horn clause dapat ditulis :
A1, A2, ……., Aà  B

      Dalam bahasa PROLOG ditulis :
              B :- A1, A2, ……., A

Untuk membuktikan teorema di atas benar, digunakan metode klasik reductio ad absurdum atau metode kontradiksi.
Tujuan dasar resolusi adalah membuat infer klausa baru yang disebut “revolvent” dari dua klausa lain yang disebut parent clause.
Contoh :
      A Ú B
       A Ú ~B
       \ A

Premis dapat ditulis :   (A Ú B) Ù (A Ú ~B)

Ingat Aksioma Distribusi :
       p Ú (q Ù r) º (p Ú q) Ù (p Ú q)

Sehingga premis di atas dapat ditulis :
(A Ú B) Ù (A Ú ~B) º A Ú (B Ù ~B) º A
 dimana B Ù ~B selalu bernilai salah.


Tabel Klausa dan Resolvent
Parent Clause
Resolvent
Arti
p à q   , p atau
~p Ú q, p
q
Modus Pones
p à q , q à r   atau
~p Ú q, ~ q Ú r
p à r atau
~p Ú r
Chaining atau Silogisme Hipotesis
~p Ú q, p Ú q
q
Penggabungan
~p Ú ~q,  p Ú q
~p Ú p atau
~q Ú q
TRUE (tautology)
~p, p
Nill
FALSE (kontradiksi)

No comments:

Post a Comment