Contoh 5.12. aljabar boelan

Contoh 5.12. Andaikan suatu tabel kebenaran telah diterjemahkan ke dalam Peta Karnaugh. Sederhanakan fungsi Boolean yang bersesuaian sesederhana mungkin.

	yz 00	01	11	10
wx   00	0	1	1	1
01	0	0	0	1
11	1	1	0	1
10	1	1	0	1

Jawab: (lihat Peta Karnaugh)  f(w, x, y, z) = wy’ + yz’ + w’x’z

Contoh 5.13.  Minimisasi fungsi Boolean yang bersesuaian dengan Peta Karnaugh di bawah ini.

	yz 00	01	11	10
wx   00	0	0	0	0
01	0	1	0	0
11	1	1	1	1
10	1	1	1	1

Jawab: (lihat Peta Karnaugh)  f(w, x, y, z) = w + xy’z

Jika penyelesaian Contoh 5.13 adalah seperti di bawah ini:

	yz 00	01	11	10
wx   00	0	0	0	0
01	0	1	0	0
11	1	1	1	1
10	1	1	1	1

maka fungsi Boolean hasil penyederhanaan adalah

          f(w, x, y, z) = w + w’xy’z                              (jumlah literal = 5)

yang ternyata masih belum sederhana dibandingkan f(w, x, y, z) = w + xy’z   (jumlah literal = 4).    

Contoh 5.14. (Penggulungan/rolling) Sederhanakan fungsi Boolean yang bersesuaian dengan Peta Karnaugh di bawah ini.

	yz 00	01	11	10
wx   00	0	0	0	0
01	1	0	0	1
11	1	0	0	1
10	0	0	0	0

Jawab:  f(w, x, y, z) = xy’z’ + xyz’ ==> belum sederhana

Penyelesaian yang lebih minimal:

	yz 00	01	11	10
wx   00	0	0	0	0
01	1	0	0	1
11	1	0	0	1
10	0	0	0	0

                f(w, x, y, z) = xz’    ===> lebih sederhana

Contoh 5.15: (Kelompok berlebihan) Sederhanakan fungsi Boolean yang bersesuaian dengan Peta Karnaugh di bawah ini.

	yz 00	01	11	10
wx   00	0	0	0	0
01	0	1	0	0
11	0	1	1	0
10	0	0	1	0

Jawab:        f(w, x, y, z) = xy’z + wxz + wyz  ® masih belum sederhana.

Penyelesaian yang lebih minimal:

	yz 00	01	11	10
wx   00	0	0	0	0
01	0	1	0	0
11	0	1	1	0
10	0	0	1	0

          f(w, x, y, z) = xy’z + wyz             ===> lebih sederhana

Contoh 5.16.  Sederhanakan fungsi Boolean yang bersesuaian dengan Peta Karnaugh di bawah ini.

	cd 00	01	11	10
ab   00	0	0	0	0
01	0	0	1	0
11	1	1	1	1
10	0	1	1	1

Jawab: (lihat Peta Karnaugh di atas)  f(a, b, c, d) = ab + ad + ac + bcd 

Contoh 5.17.  Minimisasi fungsi Boolean f(x, y, z)  =  x’z +  x’y + xy’z + yz

Jawab:

x’z = x’z(y + y’) = x’yz + x’y’z

x’y = x’y(z + z’) = x’yz + x’yz’

yz = yz(x + x’) = xyz + x’yz

f(x, y, z) = x’z + x’y + xy’z + yz

             = x’yz + x’y’z + x’yz + x’yz’ + xy’z + xyz + x’yz

             = x’yz + x’y’z + x’yz’ + xyz + xy’z

          Peta Karnaugh untuk fungsi tersebut adalah:

	yz 00	01	11	10
x      0		1	1	1
1		1	1

Hasil penyederhanaan:  f(x, y, z) = z + x’yz’

Peta Karnaugh untuk lima peubah

 000      001    011    010     110     111    101     100

00	m0	m1	m3	m2	m6	m7	m5	m4
01	m8	m9	m11	m10	m14	m15	m13	m12
11	m24	m25	m27	m26	m30	m31	m29	m28
10	m16	m17	m19	m18	m22	m23	m21	m20

                                                Garis pencerminan

               

Contoh 5.21. (Contoh penggunaan Peta 5 peubah) Carilah fungsi sederhana dari  f(v, w, x, y, z) = S (0, 2, 4, 6, 9, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 29, 31)

Jawab:

          Peta Karnaugh dari fungsi tersebut adalah:

                                                            

		xyz 000	001	011	010	110	111	101	100
	vw 00	1			1	1			1
	01		1	1			1	1
	11		1	1			1	1
	10		1					1

          Jadi  f(v, w, x, y, z)  =  wz + v’w’z’ + vy’z

Keadaan Don’t Care

 Tabel 5.16

w	x	y	z	desimal
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1	0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 don’t care don’t care don’t care don’t care don’t care don’t care

Contoh 5.25. Diberikan Tabel 5.17. Minimisasi fungsi f sesederhana mungkin.

       Tabel 5.17

a	b	c	d	f(a, b, c, d)
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1	0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1	1 0 0 1 1 1 0 1 X X X X X X X X

Jawab: Peta Karnaugh dari fungsi tersebut adalah:

	cd 00	01	11	10
ab  00	1	0	1	0
01	1	1	1	0
11	X	X	X	X
10	X	0	X	X

Hasil penyederhanaan:  f(a, b, c, d) = bd + c’d’ + cd

Contoh 5.26. Minimisasi fungsi Boolean f(x, y, z)  = x’yz + x’yz’ + xy’z’ + xy’z. Gambarkan rangkaian logikanya.

Jawab: Rangkaian logika fungsi f(x, y, z) sebelum diminimisasikan adalah seperti di bawah ini:

Minimisasi dengan Peta Karnaugh adalah sebagai berikut:

	yz 00	01	11	10
x     0			1	1
1	1	1

Hasil minimisasi adalah  f(x, y, z)  =  x’y + xy’.

Contoh 5.28. Berbagai sistem digital menggunakan kode binary coded decimal (BCD). Diberikan Tabel 5.19  untuk konversi BCD ke kode Excess-3 sebagai berikut:

              Tabel 5.19

	Masukan BCD				Keluaran kode Excess-3
	w	x	y	z	f1(w, x, y, z)	f2(w, x, y,z)	f3(w, x, y, z)	f4(w, x, y, z)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	0 0 0 0 0 0 0 0 1 1	0 0 0 0 1 1 1 1 0 0	0 0 1 1 0 0 1 1 0 0	0 1 0 1 0 1 0 1 0 1	0 0 0 0 0 1 1 1 1 1	0 1 1 1 1 0 0 0 0 1	1 0 0 1 1 0 0 1 1 0	1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

                               

                (a)  f₁(w, x, y, z)

	yz 00	01	11	10
wx   00
01		1	1	1
11	X	X	X	X
10	1	1	X	X

 f₁(w, x, y, z) = w + xz + xy = w + x(y + z)

          (b)   f₂(w, x, y, z)

	yz 00	01	11	10
wx   00		1	1	1
01	1
11	X	X	X	X
10		1	X	X

f₂(w, x, y, z) = xy’z’ + x’z + x’y = xy’z’ + x’(y + z)

          (c)  f₃(w, x, y, z)

	yz 00	01	11	10
wx   00	1		1
01	1		1
11	X	X	X	X
10	1		X	X

f₃(w, x, y, z) = y’z’ + yz

          (d)  f₄(w, x, y, z)

               

	yz 00	01	11	10
wx  00	1			1
01	1			1
11	X	X	X	X
10	1		X	X

f₄(w, x, y, z) = z’